11:22 - sábado, 14 de novembro de 2009
Desenvolvendo o pensamento geométrico
Apresentar o modelo de van Hiele sobre o desenvolvimento do pensamento geométrico.
Objectivo
Ao final desta aula você deverá ser capaz de:• Reconhecer a importância do estudo da Geometria, motivando-se para a sua aprendizagem.
Pré-requisito
Para que você encontre maior facilidade na compreensão desta aula, é importante os conceitos de:
− Cubo e cilindro.
− Vista (frontal, lateral, superior) de um objecto.
− Planificação de sólidos.
− Elementos (arestas, faces e vértices) de sólidos.
− Propriedades de polígonos. Teoria Piagetiana.
Conversando sobre o seu Laboratório pessoal de Geometria
Você estudou Geometria no Ensino Fundamental, no Médio e no Superior? É possível que muito pouco ou nada. Lembra-se de que os conteúdos geométricos sempre ficavam no final dos livros didácticos? Esse facto não era despropositado! A razão desse descaso com o ensino de Geometria surgiu com a MATEMÁTICA MODERNA. Felizmente, a situação actual do ensino de Geometria é diferente e muitos cursos, escolas, universidades etc. já desenvolvem um trabalho mais atencioso com esse ramo da Matemática, tão importante e fundamental ao conhecimento humano. A Geometria surgiu como ciência empírica, isto é, para resolver problemas práticos. Nessa perspectiva, podemos pensar que o ser humano começa a aprender Geometria pelo simples facto de ver, sentir e mover-se no espaço. À medida que crescem, as crianças começam a perceber características dos objectos desse MUNDO VISUAL, tais como: forma, tamanho, posição, movimento, ordem e crescimento. Os professores de Matemática, têm de proporcionar aos alunos várias experiências que possam aumentar a compreensão do espaço que os cerca. Assim, as actividades propostas devem, dentre outros objectivos: • ressaltar o aspecto formativo da Geometria;
• explorar a visão espacial;
• desenvolver e valorizar o aspecto dedutivo da disciplina;
• possibilitar diferentes caminhos para resolução de situações-problema.
Além disso, tais actividades devem guardar estreita relação com a vivência dos alunos, construindo conceitos utilizados no dia-a-dia, o que geralmente não tem acontecido nas escolas. Ao contrário, nossos alunos vêem a Geometria como um punhado de fórmulas arbitrárias que se aplicam a situações mirabolantes.
INTRODUÇÃO
Nas décadas de 1960 e 1970, o movimento da MATEMÁTICA MODERNA influenciou o ensino de Matemática na maioria dos países ocidentais. Caracterizou-se por enfatizar exageradamente o rigor e o simbolismo próprios da teoria dos conjuntos, priorizar o ensino de Álgebra, em detrimento do ensino de Geometria, desprezar o significado das situações pela pouca atenção às aplicações quotidianas e privilegiar um rigor além das necessidades e capacidades dos alunos.
O MUNDO VISUAL é resultado de um processo lento, que cria um mundo de objectos, semelhantes ou diferentes, interdependentes e significativos.!
A inclusão de problemas planejados, estruturados de acordo com o objectivo que se pretende e adequados ao desenvolvimento cognitivo do aprendizado, permite flexibilização do pensamento e utilização de variadas técnicas de resolução, devidamente fundamentadas. Assim, não estaremos reduzindo o ensino da Geometria à mera repetição e aplicação de fórmulas.
É por meio de um ensino voltado para situações experimentais e problemas desafiadores que podemos saber como se vai estruturando o pensamento. A possibilidade de constituir conceitos permite estruturações cada vez mais complexas do pensamento geométrico. A cada novo problema, o pensamento se estrutura e se reestrutura para dar conta das restrições e peculiaridades da realidade que nele subjazem. As soluções peculiares de cada estudante, para problemas propostos, nos dão elementos para analisar os conceitos que estão sendo construídos. Para isso, o educador deverá procurar problemas de enunciado simples, mas que contenham algo diferente ou solução nova, várias soluções ou, ainda, que não possua solução. Às vezes, o mais importante num problema não é ele em si, mas o raciocínio, a análise e as técnicas necessárias para sua resolução.
Porém, o trabalho com a Geometria, explorando o espaço no qual a criança vive (sua casa, sala de aula etc.), seja através de problemas ou, até mesmo, utilizando recursos como pantógrafo, calculadora, computador, de nada adiantará, se não houver preocupação dos educadores com as mudanças necessárias no currículo de Matemática.
Viver a Geometria na escola pode ser uma experiência feliz, se seu processo de ensino-aprendizagem for também fundamentado em actividades lúdicas e construtivas. A construção de conceitos, a dedução de propriedades e a resolução de problemas geométricos oferecem grandes possibilidades de experimentação com MATERIAIS DIDÁTICOS adequados, como veremos ao longo da disciplina.
Pensamos que o ensino de Geometria deve iniciar-se pela visualização, pelo desenho e pela manipulação, permitindo familiarizar o aluno com um mundo de formas, figuras e movimentos sobre o qual se deve desenvolver, naturalmente, ao longo do processo, o formalismo e a simbologia específica.
É preciso que o aluno observe, manipule, formule perguntas, hipóteses, relacione con-ceitos já aprendidos com os que vão surgindo, para chegar a conclusões válidas, desenvolvendo também a sua auto-estima, autoconfiança e autocrítica. Cabe ao docente criar oportunidades para que isso aconteça.
MATERIAIS DIDÁTICOS são todos aqueles objectos ou meios de comunicação que podem ajudar a descobrir, entender ou construir conceitos nas diversas fases da aprendizagem escolar.
Num LABORATÓRIO, os materiais podem ser classificados de muitas maneiras, ou seja: materiais dedicados `a comunicação audiovisual (retroprojector, vídeos etc.), materiais para desenho (pantógrafo, compasso etc.), materiais de leitura (livros, jornais etc.), materiais para fazer medidas directas ou indirectas (réguas graduadas, metro quadrado, metro cúbico, escalímetros etc.), materiais que são modelos (poliedros, polígonos, mosaicos etc.) e outros.!
Elaborar aulas de Geometria através de recursos variados constitui importante base na aquisição de conceitos e suas relações; se desenvolvido de acordo com o nível intelectual do aluno, possibilita ensino construtivo. Assim, além de realizar cada actividade proposta, consideramos imprescindível que você vá construindo cada material sugerido e, desta forma, ao final deste módulo, terá montado o seu LABORATÓRIO PESSOAL DE GEOMETRIA.
Juntamente com a ideia de valorizar características visuais e experimentais, nesta primeira aula também vamos estudar um pouco do modelo de van Hiele, sobre o desenvolvimento do pensamento geométrico.
DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO, SEGUNDO VAN HIELE
Durante décadas, a teoria de PIAGET influenciou o currículo escolar. No início dos anos 1980, um casal de holandeses (os VAN HIELES), considerando as dificuldades de seus alunos de Nível Médio em aprender Geometria, propôs um modelo para organizar o ensino de Geometria de acordo com as habilidades psicológicas dos alunos.
Na tentativa de entender melhor e de procurar explicações para o desencontro entre o ensino da Geometria e sua compreensão, por parte dos alunos, o casal van Hiele elaborou um modelo teórico a respeito do desenvolvimento do pensamento geométrico, que teve repercussão no Brasil e no resto do mundo.
O modelo descreve cinco níveis de raciocínio geométrico: básico, de análise, de dedução informal, de dedução formal e de rigor, que representam avanços na sofisticação da aprendizagem. Cada nível é caracterizado, por exemplo, por relações entre os objetos de estudo e a linguagem apropriada, como sintetizado no quadro seguinte (adaptado de NASSER et alii., 1998).
Segundo PIAGET, as crianças passam por estágios estáveis (em faixas etárias determinadas) de estruturação do pensamento: o sensório-motor, o pré-operacional, o das operações concretas e o das operações formais.
Dina VAN HIELE Gelgof e seu marido Pierre Marie van Hiele estudaram, na Holanda, o nível de maturidade geométrica de seus alunos.!
No Brasil, o modelo obteve divulgação no início de 1990, trazido pela professora Lilian Nasser (Universidade Federal do Rio de Janeiro), que defendeu tese a respeito, na Universidade de Londres. Na Universidade Federal Fluminense, a professora Ana Maria Kaleff também foi uma impulsionadora do modelo, em seus trabalhos de pesquisa sobre formação (inicial e continuada) de professores.
Publicado por ARQUIFORMA
- Desenvolvendo o pensamento geométrico
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Objectivo
Ao final desta aula você deverá ser capaz de:• Reconhecer a importância do estudo da Geometria, motivando-se para a sua aprendizagem.
Pré-requisito
Para que você encontre maior facilidade na compreensão desta aula, é importante os conceitos de:
− Cubo e cilindro.
− Vista (frontal, lateral, superior) de um objecto.
− Planificação de sólidos.
− Elementos (arestas, faces e vértices) de sólidos.
− Propriedades de polígonos. Teoria Piagetiana.
Conversando sobre o seu Laboratório pessoal de Geometria
Você estudou Geometria no Ensino Fundamental, no Médio e no Superior? É possível que muito pouco ou nada. Lembra-se de que os conteúdos geométricos sempre ficavam no final dos livros didácticos? Esse facto não era despropositado! A razão desse descaso com o ensino de Geometria surgiu com a MATEMÁTICA MODERNA. Felizmente, a situação actual do ensino de Geometria é diferente e muitos cursos, escolas, universidades etc. já desenvolvem um trabalho mais atencioso com esse ramo da Matemática, tão importante e fundamental ao conhecimento humano. A Geometria surgiu como ciência empírica, isto é, para resolver problemas práticos. Nessa perspectiva, podemos pensar que o ser humano começa a aprender Geometria pelo simples facto de ver, sentir e mover-se no espaço. À medida que crescem, as crianças começam a perceber características dos objectos desse MUNDO VISUAL, tais como: forma, tamanho, posição, movimento, ordem e crescimento. Os professores de Matemática, têm de proporcionar aos alunos várias experiências que possam aumentar a compreensão do espaço que os cerca. Assim, as actividades propostas devem, dentre outros objectivos: • ressaltar o aspecto formativo da Geometria;
• explorar a visão espacial;
• desenvolver e valorizar o aspecto dedutivo da disciplina;
• possibilitar diferentes caminhos para resolução de situações-problema.
Além disso, tais actividades devem guardar estreita relação com a vivência dos alunos, construindo conceitos utilizados no dia-a-dia, o que geralmente não tem acontecido nas escolas. Ao contrário, nossos alunos vêem a Geometria como um punhado de fórmulas arbitrárias que se aplicam a situações mirabolantes.
INTRODUÇÃO
Nas décadas de 1960 e 1970, o movimento da MATEMÁTICA MODERNA influenciou o ensino de Matemática na maioria dos países ocidentais. Caracterizou-se por enfatizar exageradamente o rigor e o simbolismo próprios da teoria dos conjuntos, priorizar o ensino de Álgebra, em detrimento do ensino de Geometria, desprezar o significado das situações pela pouca atenção às aplicações quotidianas e privilegiar um rigor além das necessidades e capacidades dos alunos.
O MUNDO VISUAL é resultado de um processo lento, que cria um mundo de objectos, semelhantes ou diferentes, interdependentes e significativos.!
A inclusão de problemas planejados, estruturados de acordo com o objectivo que se pretende e adequados ao desenvolvimento cognitivo do aprendizado, permite flexibilização do pensamento e utilização de variadas técnicas de resolução, devidamente fundamentadas. Assim, não estaremos reduzindo o ensino da Geometria à mera repetição e aplicação de fórmulas.
É por meio de um ensino voltado para situações experimentais e problemas desafiadores que podemos saber como se vai estruturando o pensamento. A possibilidade de constituir conceitos permite estruturações cada vez mais complexas do pensamento geométrico. A cada novo problema, o pensamento se estrutura e se reestrutura para dar conta das restrições e peculiaridades da realidade que nele subjazem. As soluções peculiares de cada estudante, para problemas propostos, nos dão elementos para analisar os conceitos que estão sendo construídos. Para isso, o educador deverá procurar problemas de enunciado simples, mas que contenham algo diferente ou solução nova, várias soluções ou, ainda, que não possua solução. Às vezes, o mais importante num problema não é ele em si, mas o raciocínio, a análise e as técnicas necessárias para sua resolução.
Porém, o trabalho com a Geometria, explorando o espaço no qual a criança vive (sua casa, sala de aula etc.), seja através de problemas ou, até mesmo, utilizando recursos como pantógrafo, calculadora, computador, de nada adiantará, se não houver preocupação dos educadores com as mudanças necessárias no currículo de Matemática.
Viver a Geometria na escola pode ser uma experiência feliz, se seu processo de ensino-aprendizagem for também fundamentado em actividades lúdicas e construtivas. A construção de conceitos, a dedução de propriedades e a resolução de problemas geométricos oferecem grandes possibilidades de experimentação com MATERIAIS DIDÁTICOS adequados, como veremos ao longo da disciplina.
Pensamos que o ensino de Geometria deve iniciar-se pela visualização, pelo desenho e pela manipulação, permitindo familiarizar o aluno com um mundo de formas, figuras e movimentos sobre o qual se deve desenvolver, naturalmente, ao longo do processo, o formalismo e a simbologia específica.
É preciso que o aluno observe, manipule, formule perguntas, hipóteses, relacione con-ceitos já aprendidos com os que vão surgindo, para chegar a conclusões válidas, desenvolvendo também a sua auto-estima, autoconfiança e autocrítica. Cabe ao docente criar oportunidades para que isso aconteça.
MATERIAIS DIDÁTICOS são todos aqueles objectos ou meios de comunicação que podem ajudar a descobrir, entender ou construir conceitos nas diversas fases da aprendizagem escolar.
Num LABORATÓRIO, os materiais podem ser classificados de muitas maneiras, ou seja: materiais dedicados `a comunicação audiovisual (retroprojector, vídeos etc.), materiais para desenho (pantógrafo, compasso etc.), materiais de leitura (livros, jornais etc.), materiais para fazer medidas directas ou indirectas (réguas graduadas, metro quadrado, metro cúbico, escalímetros etc.), materiais que são modelos (poliedros, polígonos, mosaicos etc.) e outros.!
Elaborar aulas de Geometria através de recursos variados constitui importante base na aquisição de conceitos e suas relações; se desenvolvido de acordo com o nível intelectual do aluno, possibilita ensino construtivo. Assim, além de realizar cada actividade proposta, consideramos imprescindível que você vá construindo cada material sugerido e, desta forma, ao final deste módulo, terá montado o seu LABORATÓRIO PESSOAL DE GEOMETRIA.
Juntamente com a ideia de valorizar características visuais e experimentais, nesta primeira aula também vamos estudar um pouco do modelo de van Hiele, sobre o desenvolvimento do pensamento geométrico.
DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO, SEGUNDO VAN HIELE
Durante décadas, a teoria de PIAGET influenciou o currículo escolar. No início dos anos 1980, um casal de holandeses (os VAN HIELES), considerando as dificuldades de seus alunos de Nível Médio em aprender Geometria, propôs um modelo para organizar o ensino de Geometria de acordo com as habilidades psicológicas dos alunos.
Na tentativa de entender melhor e de procurar explicações para o desencontro entre o ensino da Geometria e sua compreensão, por parte dos alunos, o casal van Hiele elaborou um modelo teórico a respeito do desenvolvimento do pensamento geométrico, que teve repercussão no Brasil e no resto do mundo.
O modelo descreve cinco níveis de raciocínio geométrico: básico, de análise, de dedução informal, de dedução formal e de rigor, que representam avanços na sofisticação da aprendizagem. Cada nível é caracterizado, por exemplo, por relações entre os objetos de estudo e a linguagem apropriada, como sintetizado no quadro seguinte (adaptado de NASSER et alii., 1998).
Segundo PIAGET, as crianças passam por estágios estáveis (em faixas etárias determinadas) de estruturação do pensamento: o sensório-motor, o pré-operacional, o das operações concretas e o das operações formais.
Dina VAN HIELE Gelgof e seu marido Pierre Marie van Hiele estudaram, na Holanda, o nível de maturidade geométrica de seus alunos.!
No Brasil, o modelo obteve divulgação no início de 1990, trazido pela professora Lilian Nasser (Universidade Federal do Rio de Janeiro), que defendeu tese a respeito, na Universidade de Londres. Na Universidade Federal Fluminense, a professora Ana Maria Kaleff também foi uma impulsionadora do modelo, em seus trabalhos de pesquisa sobre formação (inicial e continuada) de professores.
Miguel Angelo da Silva
Nova Iguaçu, Rio de Janeiro, Brazil
Professor de Matemática da UFRRJ e do Curso de Licenciatura em Matemática da UFF/Cederj/UAB
06:22 -
Trata-se, assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo rectângulo.
Os seus princípios baseiam-se nas proporções fixas dos lados de determinado ângulo num triângulo rectângulo. As mais simples são conhecidas como seno, coseno e tangente (denominadas razões trigonométricas).
A trigonometria começou como uma área da Matemática eminentemente prática, para determinar distâncias que não podiam ser medidas directamente, surgindo inicialmente para resolver problemas de astronomia. Actualmente têm importância prática na navegação, topografia e movimento harmónico simples em física.
Existem dois tipos de trigonometria, a Plana e a Esférica, que abordam, a resolução de triângulos no plano e na esfera, respectivamente.
A trigonometria plana lida com figuras geométricas pertencentes a um único plano, enquanto a trigonometria esférica trata dos triângulos que são uma secção da superfície de uma esfera.
Se quiseres saber mais pesquisa em educ.fc.ul
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- Relação Fundamental da Trigonometria
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Relação Fundamental da Trigonometria
A palavra Trigonometria vem do grego
TRI - três, GONO - ângulo e METRIEN - medida,
significando Medida de Triângulos.
Trata-se, assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo rectângulo.
Os seus princípios baseiam-se nas proporções fixas dos lados de determinado ângulo num triângulo rectângulo. As mais simples são conhecidas como seno, coseno e tangente (denominadas razões trigonométricas).
A trigonometria começou como uma área da Matemática eminentemente prática, para determinar distâncias que não podiam ser medidas directamente, surgindo inicialmente para resolver problemas de astronomia. Actualmente têm importância prática na navegação, topografia e movimento harmónico simples em física.Existem dois tipos de trigonometria, a Plana e a Esférica, que abordam, a resolução de triângulos no plano e na esfera, respectivamente.
A trigonometria plana lida com figuras geométricas pertencentes a um único plano, enquanto a trigonometria esférica trata dos triângulos que são uma secção da superfície de uma esfera.
Se quiseres saber mais pesquisa em educ.fc.ul
